Олжас Байбек родился в посёлке Шардара, Южно-Казахстанской области.

Его путь в ФК «Кайрат» начался в 2016 году: сначала в филиале, а затем в Академии клуба.

В 2022 году дебютировал за «Кайрат-Жастар» в Первой лиге и в том же сезоне впервые был включён в заявку на матч основной команды.

2023 год стал знаковым для Олжаса: он стал чемпионом QJ League и был признан лучшим полузащитником турнира.

В октябре 2024 года дебютировал за основную команду в матче с «Тураном» (5:1), выйдя в стартовом составе. А уже в своём третьем матче, выйдя на замену, забил победный гол и важнейший гол в ворота «Ордабасы» (2:1).

Летом 2024 года дебютировал за молодёжную сборную Казахстана U-21.