Лев Олегович Кургин родился 6 июня 2002 года в городе Талдыкорган.

Лев начинал заниматься футболом в «Жетысу». Он был зачислен в академию клуба в январе 2016 года.

Первую половину 2021 года крайний защитник начинал, выступая за «Кайрат-Жастар» в Первой лиге Казахстана. Осенью того же года Кургин пополнил ФК «Кайрат-Москва».

Летом 2022 года Лев подписал контракт с основной командой ФК «Кайрат» и дебютировал за неё 9 июля, в матче группового этапа Кубка Казахстана против «Ордабасы» (2:0).