Андрей Евгеньевич Ульшин родился 18 апреля 2000 года в городе Кокшетау.

Андрей начинал заниматься футболом в кокшетауский команде СОК «Энергетик», после чего переехал в Алматы и занимался в школе футбола РКС (Республиканском колледже спорта).

В августе 2015 года получил приглашение в Академию ФК «Кайрат». В 2017 году вместе с командой «Кайрат М» завоевал серебряные медали Второй лиги Казахстана.

21 ноября 2020 года Ульшин ярко дебютировал за основную команду «Кайрата» в матче 19-го тура Чемпионата Казахстана против «Кызыл-Жара» (2:3), отметившись голом со штрафного и голевой передачей.

С 2021 года полноценно является игроком основной команды.

С сезоне 2024 года помог команде стать чемпионом страны, забивая голы и выполняя голевые передачи в ключевых матчах Чемпионата.